Induksi Matematika

Nessa Ramadhani Putri

XI IPS 2

 

Induksi Matematika: Pengertian, Rumus, & Contoh Soal

Pengertian Induksi Matematika

Induksi matematika adalah cara atau teknik pembuktian secara deduktif dalam matematika.

Pembuktian yang dimaksud adalah pembuktian pernyataan-pernyataan yang berkaitan dengan bilangan bulat positif (non negative).

Langkah-langkah Induksi Matematika

Andaikan p(n) adalah sebuah pernyataan dengan variabel bebas n dan n adalah bilangan bulat positif, maka untuk membuktikan bahwa p(n) benar kita perlu melalui 3 langkah sebagai berikut:

  1. Tunjukkan bahwa p(1) benar
  2. Misalkanlah p(n) benar untuk semua bilangan bulat positif  dengan n ≥ 1
  3. Tunjukkan bahwa p(n+1) benar

Agar lebih dapat memahami materi ini, perhatikan contoh soal di bawah ini.

Baca juga Bangun Datar.

Contoh Soal Induksi Matematika

1. Tunjukkan bahwa 1 + 2 + 3 + … + n =Induksi Matematika

Pembahasan
  • Akan ditunjukkan bahwa p(1) benar

Jika n = 1, maka:

1 =Contoh Soal Induksi Matematika= 1 (benar)

  • Misal p(n) benar untuk n ≥ 1, maka:

1 + 2 + 3 + … + n =Induksi Matematikabenar

  • Akan dibuktikan bahwa p(n+1) benar, yaitu:

1 + 2 + 3 + … + n + (n+1) =Contoh Induksi Matematika

Bukti:

1 + 2 + 3 + … + n + (n+1) =Induksi Matematika+ (n+1)

1 + 2 + 3 + … + n + (n+1) =Contoh Induksi Matematika 2

1 + 2 + 3 + … + n + (n+1) =Contoh Induksi Matematika(terbukti)

Jadi, terbukti bahwa 1 + 2 + 3 + … + n =Induksi Matematikauntuk n ≥ 1.

2. Tunjukkan bahwa jumlah dari n bilangan bulat ganjil positif pertama adalah n2


Pembahasan

Bentuk persamaan : 1 + 3 + 5 + … + (2n–1) = n2


Akan ditunjukkan bahwa p(1) benar

Jika n = 1, maka:


1 = n2 = 12 = 1


Misalkan p(n) benar untuk n ≥ 1, maka:

1 + 3 + 5 + … + (2n–1) = n2 benar


Akan di buktikan bahwa p(n+1) benar, yaitu:

1 + 3 + 5 + … + (2n–1) + (2(n+1)–1) = (n+1)2


Bukti:


1 + 3 + 5 + … + (2n–1) + (2(n+1)–1) = n2 + (2(n+1)–1)


1 + 3 + 5 + … + (2n–1) + (2(n+1)–1) = n2 + 2n + 2 – 1


1 + 3 + 5 + … + (2n–1) + (2(n+1)–1) = n2 + 2n + 1


1 + 3 + 5 + … + (2n–1) + (2(n+1)–1) = (n+1)(n+1)


1 + 3 + 5 + … + (2n–1) + (2(n+1)–1) = (n+1)2 (terbukti)


Jadi, terbukti bahwa 1 + 3 + 5 + … + (2n–1) = n2 untuk n bilangan bulat positif.

Untuk latihan soal lebih lengkap, silakan baca: Contoh Soal Induksi Matematika

Setelah memahami contoh soal beserta pembuktiannya, diharapkan materi induksi matematika dapat semakin dipahami sehingga mampu menyelesaikan soal dalam berbagai bentuk.

Agar lebih memperdalam pemahaman terkait materi induksi matematika, dapat dicari contoh soal di internet atau buku-buku soal matematika.

Selama berpegang pada langkah-langkah yang ditentukan dalam menyelesaian soal induksi matematika, maka proses pembuktian akan dapat dilalui dengan baik.

Komentar

Posting Komentar

Postingan populer dari blog ini

Turunan Persamaan Garis Singgung Kurva Menggunakan turunan

Gambar
  Turunan Persamaan Garis Singgung Kurva Menggunakan turunan Dalam materi turunan terdapat sub bab mengenai Persamaan Garis Singgung suatu Kurva,lho… mari kita kupas materinya beserta latihan soal persamaan garis singgung kurva,yuks… Nah, sebelum menginjak ke inti materi persamaan garis singgung kurva, kita rangkum kembali yuk ingatan kita tentang cara menentukan gradien dan persamaan garis lurus . Gradien Garis disimbolkan dengan  m m  dimana : gradien pada persamaan garis  y = m x + c y = m x + c  adalah  m m gradien pada persamaan garis  a x + b y = c a x + b y = c  adalah  m = − a b m = − a b gradien jika diketahui dua titik  ( x 1 , y 1 ) ( x 1 , y 1 )  dan  ( x 2 , y 2 ) ( x 2 , y 2 )  adalah  m = y 2 − y 1 x 2 − x 1 m = y 2 − y 1 x 2 − x 1 Gradien dua garis lurus : yang saling sejajar maka  m 1 = m 2 m 1 = m 2 yang saling tegak lurus maka  m 1 . m 2 = − 1 m 1 . m 2 = − 1 Persamaan Garis Lurus : Jika diketahui satu titik  ( x 1 , y 1 ) ( x 1 , y 1 )  dan gradien  m m , maka persa
Baca selengkapnya

Tugas Matematika SPLTV

 Soal Cerita Persamaan Linear Tiga Variabel dan Penyelesaiannya Sesuai dengan namanya, sistem persamaan linear tiga variabel terdiri atas tiga variabel. Sistem persamaan linear tiga variabel (SPLTV) merupakan system persamaan yang disusun oleh tiga persamaan linear dengan tiga variabel atau peubah yang sama. Sama seperti SPLDV, sistem persamaan linear tiga variable juga dapat diaplikasikan dalam kehidupan sehari-hari. SPLTV dapat dimanfaatkan untuk menyelesaikan berbagai masalah yang berkaitan dengan model matematika berbentuk SPLTV. Contoh Soal Cerita Persamaan Linear Tiga Variabel dan Penyelesaiannya Bentuk umum SPLTV biasanya ditulis dengan bentuk sebagai berikut: ax + by + cz = d ex + fy + gz = h ix +jy +kz = l Dari bentuk di atas, x, y dan z merupakan variable atau peubah yang nilainya belum diketahui. Sedangkan a, b, c, d, e, f, g, h, I, j, k, dan l merupakan bilangan-bilangan real yang sudah diketahui nilainya. Nah, penyelesaian sistem persamaan linear tiga variable artinya mene
Baca selengkapnya