Teknik Pengintegralan

Dalam memecahkan/menyelesaikan masalah integral tak tentu terutama untuk beberapa fungsi yang belum tercantum pada laman Primitif Fungsi, diperlukan teknik-teknik tertentu yang selanjutnya disebut teknik pengintegralan. Pada kesempatan kali ini akan dibahas mengenai salah satu teknik pengintegralan yang dikenal dengan sebutan metode substitusi.

Dalam menyelesaikan masalah integral tak tentu, masalah yang ada harus dibawa ke salah satu atau beberapa bentuk integrand yang telah dikenal. Dengan memasukkan atau mensubstitusi variabel baru yang tepat sehingga bentuk yang tadinya belum dikenal primitifnya berubah menjadi bentuk yang telah dikenal.

Diberikan fungsi $f$ yang terdefinisi pada interval $[a,b]$ dan fungsi $g:[\alpha,\beta]\rightarrow [a,b]$ yang mempunyai invers $g^{-1}$ . Jika $g$ dan $g^{-1}$ keduanya mempunyai derivatif yang kontinu masing-masing pada interval $[\alpha,\beta]$ dan $[a,b]$ serta $f$ kontinu pada $[a,b]$ , maka:

$\begin{equation*} \int{f(x)}~dx=\int{f(g(t))g'(t)}~dt. \end{equation*}$

Untuk membuktikan hal tersebut, maka cukup ditunjukkan bahwa derivatif kedua ruang terhadap $x$ merupakan fungsi yang sama. Diperhatikan bahwa

$\begin{equation*} \frac{d}{dx}\int{f(x)}~dx=f(x). \end{equation*}$

Sementara di lain pihak, diperoleh:

$\begin{eqnarray*} \frac{d}{dx}\int{f(g(t))g'(t)}~dt&=&\frac{d}{dt}\left(\int{f(g(t))g'(t)}~dt\right)\frac{dt}{dx}\\ &=& f(g(t))g'(t)\frac{1}{\frac{dx}{dt}}\\ &=&f(g(t))g'(t)\frac{1}{g'(t)}\\ &=&f(x). \end{eqnarray*}$

Dengan demikian, terbukti bahwa

$\begin{equation*} \int{f(x)}~dx=\int{f(g(t))g'(t)}~dt. \end{equation*}$

$\blacksquare$

Contoh.

Akan ditentukan nilai integral tertentu dari $\int{\cos kx}~dx$ , untuk suatu konstanta $k$ .
Penyelesaian:
Diambil substitusi $t=kx$ atau $x=\frac{1}{k}t$ maka $dx=\frac{1}{k}dt$ . Dengan demikian,
$\begin{eqnarray*} \int{\cos kx}~dx&=&\int{(\cos t)\frac{1}{k}}~dt\\ &=&\frac{1}{k}\int{\cos t}~dt\\ &=&\frac{1}{k}\sin t +C\\ &=&\frac{1}{k}\sin kx+C. \end{eqnarray*}$
Diperhatikan bahwa nilai $\int{\cos t}~dt=\sin t+C$ merupakan bentuk intergal yang telah dikenal.
Akan ditentukan nilai integral tertentu dari $\int{(1-3x)^{8}}~dx$ .
Penyelesaian:
Dengan substitusi $t=1-3x$ maka diperoleh $dt=-3dx$ , sehingga diperoleh integrasi:
$\begin{eqnarray*} \int{(1-3x)^{8}}~dx&=&\int{t^{8}\left(-\frac{1}{3}\right)}~dt\\ &=&-\frac{1}{3}\int{t^{8}}~dt\\ &=&-\frac{1}{27}t^{9} +C\\ &=&-\frac{1}{27}(1-3x)^{8}+C. \end{eqnarray*}$
Diperhatikan bahwa nilai $\int{t^{8}}~dt=\frac{1}{9}t^{9}+C$ merupakan bentuk integral yang telah dikenal.
Tentukan $\int{\frac{dx}{x\ln x}}$ .
Penyelesaian:
Disubstitusikan $y=\ln x$ , sehingga diperoleh $dy=\frac{dx}{x}$ . Akibatnya,
$\begin{eqnarray*} \int{\frac{dx}{x\ln x}}&=&\int{\frac{1}{y}}~dy\\ &=& \ln y+C \\ &=& \ln\ln x+C. \end{eqnarray*}$